Die geometrische Reihe

Meta-Beschreibung: Diese Seite ist ein Prototyp für eine videogestützte interaktive Lerneinheit zur geometrischen Reihe, wie sie Herr Prof. Leeb am Montag 03.12.18 definiert hat. Hier erhältst du zusätzliche Visualisierungen, Beweise und Wissenswertes, wofür in der Vorlesung keine Zeit war.

Wenn du die Entwicklung dieser Lerneinheit durch Feedback unterstützen möchtest, super – probier einfach aus, solange du Lust hast, und gib bitte beim Verlassen ein kurzes Feedback zu dem (den) Video(s), die du getestet hast!

Umfang der Lerneinheit: für den gesamten Inhalt ca. 60-90 min (30-50 min Videos + Eigenarbeit).
Inhalt: 1. Visuelle Herleitung von geometrischer Summen- und Reihenformel, 2. induktiver Beweis beider Formeln, 3. rekursiver Beweis beider Formeln.
Lernziele: Nach Bearbeitung dieser Lerneinheit kannst du anhand von Skizzen den Grenzwert von geometrischen Reihen über Stammbrüche erklären. Aufbauend darauf kannst du auch die endliche geometrische Summenformel anhand einer Skizze motivieren. Diese Formeln kannst du sowohl induktiv als auch rekursiv beweisen. Du hast verstanden, dass die Ideenfindung für eine mathematische Einsicht einen Weg gehen kann, der anschaulicher, weniger streng, beispielgestützt  und in anderer Reihenfolge zum Ziel führt als es der anschließend gewonnene formale Beweis tut.
Vorkenntnisse: Für Teil 1 musst du lediglich mit der Σ-Notation von Summen vertraut sein. Für Teile 2 und 3 musst du die Beweismethode der vollständigen Induktion kennen und wissen, was eine Folge und was eine Reihe ist.
Gliederung:
Einleitung
1. Visueller Zugang
2. Induktiver Beweis
3. Rekursiver Beweis
Schluss

 

Einleitung

Die geometrische Reihe ist die fundamentale Reihe der Mathematik, denn sie ist sowohl im Lernprozess als auch im Aufbau der Theorie der Schlüssel zu Reihen überhaupt. Die geometrischen Reihen über Stammbrüche, also $$\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{m}\right)^k$$
mit m=2 oder m=3 usw. lassen sich so gut veranschaulichen, dass man unabhängig von aller Theorie über Folgen und formalen Beweistechniken einsehen kann, dass diese unendlichen Summen einen klaren endlichen Wert annehmen. Für dich als Lernenden ist das wertvoll, um der formalen Vorgehensweise der Vorlesungen mal etwas Bodenhaftung zu geben und dadurch das Vertrauen zu stärken, dass diese formale Vorgehensweise tatsächlich Wahrheiten hervorbringt und kein bloßes Glasperlenspiel ist. Die Konvergenz geometrischer Reihen über Stammbrüche ist sogar eines der seltenen Themen der höheren Mathematik, dass du auch interessierten nicht-Mathematikern nahebringen kannst. Versuch es ruhig mal!

Die intuitive Zugänglichkeit der geometrischen Reihe bedeutet jedoch keineswegs, dass sie ein trivialer Gegenstand wäre. Ganz im Gegenteil, sie ist fundamental für die gesamte Theorie der Reihen: Quotienten- und Wurzelkriterium und infolgedessen auch die Formel von Cauchy-Hadamard für die Konvergenzradien von Potenzreihen sind nichts anderes als Vergleiche mit geometrischen Reihen. Auch die Konvergenz harmonischer Reihen \( \frac{1}{n^α}\) mit \(α>1\) kann man durch Vergleich mit geometrischen Reihen beweisen. Geometrische Reihen sind damit sowohl die intuitivsten als auch die formal wichtigsten Anhaltspunkte für die Konvergenz von Reihen überhaupt.

 

1. Die geometrische Reihe – visuell

In diesem interaktiven Video will ich dir auf graphischem Wege zeigen, woher man die Idee für den Grenzwert geometrischer Reihen überhaupt nehmen kann, wenn dieser nicht gerade vom Himmel auf die Tafel fällt. Leg schon mal deine Lieblingsstifte bereit!

Geplante Verbesserungen: Bildrauschen und Helligkeit in green screen Aufnahmen, speziell ab 10:05, verbessern. 

 

2. Die geometrische Reihe – induktiv

Nachdem wir nun eine Hypothese für den Grenzwert gewisser geometrischer Reihen gefunden haben, muss ein Beweis dieser Formel her. Aber nicht einfach deswegen, weil Beweise halt der spießige Teil der Mathematik sind, der an der Uni dazugehört, sondern weil wir beim Versuch, eine Aussage zu beweisen, die Aussage oft noch besser verstehen und eventuell weitere Aussagen dazugewinnen. Spoiler: beides wird hier passieren. Wir werden die endliche geometrische Summenformel als Nebengewinn des Beweisversuchs einstreichen, wobei uns wieder die Visualisierung aus dem vorherigen Video den Weg weist, und wir werden dank der formalen Beweise überhaupt erst die Tragweite beider Formeln erkennen.

Geplante Verbesserungen: Helligkeit in green screen Aufnahmen verbessern.

 

3. Die geometrische Reihe – rekursiv

Geometrische Summe und Reihe sind rekursiv: In jedem Schritt wird das q-fache des vorigen Summanden addiert. Diese Idee ist sehr fruchtbar: Auf rekursive Weise kannst du sowohl den Grenzwert der geometrischen Reihe als auch die Formel für die endliche geometrische Summe in Sekundenschnelle bestimmen. Außerdem bereitet das rekursive Verständnis der geometrischen Reihe den Weg zum Quotientenkriterium.
Du wirst hier nicht nur die geometrische Reihe besser verstehen lernen, sondern auch den typischen Beweisprozess für rekursive Folgen allgemein mitmachen. Dabei geht es formaler und weniger bunt zu als in den ersten beiden Videos dieser Lerneinheit, aber die Eleganz der rekursiven Herangehensweise wird dich hierfür entschädigen.

Geplante Verbesserungen: Graphische Darstellung der Rekursion hinzufügen.

 

Schluss

Dieser Teil befindet sich noch im Aufbau (Zusammenfassung in 100 Sekunden)

Feedback geben

Vielen Dank, dass du diese Lerneinheit oder Teile davon ausprobiert hast! Wenn du noch zwei Minuten Zeit hast, dann gib uns bitte dein Feedback zu dieser Art von Lernhilfe zur höheren Mathematik.

 

Quellen & Dank

Die Darstellung geometrischer Reihen über Kreissektoren ist eine Abwandlung der Darstellung durch regelmäßige Vielecke aus dem sehr inspirierenden Buch Mathematik ist schön (Springer 2017) von H. K. Strick.

Herzlichen Dank an Prof. Werner Fröhlich für ausführliches und gründliches Feedback zu dieser Lerneinheit.